Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке ${\displaystyle (a,\;b)}$ уравнения Штурма — Лиувилля

${\displaystyle L[y]=\lambda \rho (x)y(x),}$

удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям

${\displaystyle {\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}}$

и значений параметра ${\displaystyle \lambda }$, при которых такие решения существуют.

Оператор ${\displaystyle L[y]}$ здесь — это действующий на функцию ${\displaystyle y(x)}$ линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

${\displaystyle L[y]\equiv {\frac {d}{dx}}\left[-p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)}$

(оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера), ${\displaystyle x}$ — вещественный аргумент.

Функции ${\displaystyle p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho (x)}$ предполагаются непрерывными на ${\displaystyle (a,\;b)}$, кроме того функции ${\displaystyle p(x),\;\rho (x)}$ положительны на ${\displaystyle (a,\;b)}$.

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения ${\displaystyle \lambda }$, при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).